数理解析研究紹介教員紹介門田　直之
講師　門田　直之

　私の専門分野はトポロジーと呼ばれる幾何学の一種です。その中でも、特に「2次元多様体」と「4次元多様体」のトポロジーに興味を持っています。「n次元多様体」とは、大雑把に言えば「ものすごく近くで見るとn次元に見えるもの」です。例えば、円周をものすごく近くで見るとほとんど直線(1次元)です。ですから、円周は「1次元多様体」です。また、球面はものすごく近くで見るとほとんど平面(2次元)なので、「2次元多様体」となります。この考えでいうと「ものすごく近くで見ると4次元に見えるもの」が「4次元多様体」なのですが、そもそも4次元を目で見ることができません。
　さて、トポロジーの大きな目標は、n次元多様体の分類、つまり種類分けなのですが、どのように種類分けするのでしょうか？種類分けの「判断基準」が必要です。その判断基準がトポロジーの概念のポイントになります。トポロジーの概念を簡単にいうと「すべてのものが『ゴム』でできていると思う」というものです。例えば、輪ゴムを想像してみましょう。輪ゴムは、円，三角形，四角形と変形することができます。そこで「輪ゴムが変形できるものは全て同じものと見なす」のです。つまり、輪ゴムも円も三角形も四角形も同じものです。この考えで、「向き付け可能な2次元閉多様体」というもの分類すると「球面(ビーチボール)、1人用浮き輪、2人用浮き輪、…など」というものになり、直観的に言うと、「穴の数」で区別されます。もっというと穴の数で分類されるのです。
　最初にあったように、私は「4次元多様体」のトポロジーに興味を持っていました。向き付け可能な2次元閉多様体は「穴の数」で区別できますが、目に見えない「4次元多様体」はどのように区別できるのでしょうか？その区別するための道具が「不変量」と呼ばれるものです。向き付け可能な2次元閉多様体の不変量は「穴の数」であり、4次元多様体には別の不変量があります。
最後に私の研究の一部を述べると、4次元多様体の構成です。私は、4次元多様体を(数学的に)たくさん作り、それらの不変量を調べて珍しいものをたくさん構成する、という研究を行っています。これからもこの研究を進め、頑張っていきたいと思います。

最近の学術論文

  1. Naoyuki Monden, Generating the mapping class group of a punctured surface by three elements,
    Hiroshima Mathematical Journal, 41 (2011), no. 1, 1--9.
  2. Naoyuki Monden, Generating the mapping class group of a punctured surface by involutions,
    Tokyo Journal of Mathematics, 34 (2011), no. 2, 303--312.
  3. Naoyuki Monden, \textit{On upper bounds on stable commutator lengths in mapping class groups},
    Topology and its Applications, 159, Issue 4, March 2012, 1085--1091.
  4. Naoyuki Monden,
    On minimal number of singular fibers in a genus-2 Lefschetz fibration,
    Tokyo Journal of Mathematics, 35, (2012), no. 2, 483--490.
  5. R. {I}nan\c{c} Baykur, Mustafa Korkmaz and Naoyuki Monden,
    Sections of surface bundles and Lefschetz fibrations,
    Transactions of the American Mathematical Society, 365, (2013), no. 11, 5999--6016.
  6. Naoyuki Monden,
    Generating the mapping class group by torsion elements of small order,
    Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 154, (2013), Issue 1, 41--62.
  7. Susumu Hirose and Naoyuki Monden,
    Degree of roots of disk twists on 3-dimensional handlebodies,
    Geometria Dedicata, 164, Issue 1 (2013), 73--82.
  8. Naoyuki Monden,
    Lefschetz fibrations with small slope,
    Pacific Journal of Mathematics, 267 (2014), no. 1, 243--256.
  9. Naoyuki Monden,
    On roots of Dehn twists,
    Rocky Mountain Journal of Mathematics, to appear.
  10. Danny Calegari, Naoyuki Monden and Masatoshi Sato,
    On stable commutator length in hyperelliptic mapping class groups,
    Pacific Journal of Mathematics, to appear.